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2004.08.11

別解が続々と・・・?

 5年考えて解けなかった問題 へのトラックバック、コメント、メールを多数いただき、ありがとうございます。
 私が大学生の時に教えてもらった解法とまったく同じものをメールで寄せられた方がいらっしゃいます。また、その方法の変法も一つ。これらについては、14日に公開させていただきます。

 この問題に私がつぎ込んだ総時間数は何十時間か何百時間かしれませんが、あっさりと答えを見つける方もいらっしゃるんですねー。脱帽です。

 それから、別解になりそうなアイデアには、特に期待しています。今のところ、別解で完全な答えを示した方はおられません。そういうアイデアをいくつか御紹介します。

 一つはこんなのです。問題の図の右側に、線対称にもう一つの図を描きます。
triangle2.jpg
 三角形CDD'は正三角形です。これをクルッと回転させて、点Cを点Dに、DをD'に、D'をCに重ねると、答えは「20度」になるそうです。
 うーん・・・その理屈はよくわかりませんし、答えは20度でなくて30度なんですが、でも、回転させて重ねるなんて、私は一度も思いついたことがありませんでした。斬新な発想です。

 ちょっと似た発想ですが、こちらはもう少し理解できます。これも、線対称にもう一つの図を描く方法です。
triangle3.jpg
 三角形D'BCに着目します。角D'CBは、60+20+20=100度です。だから、三角形の内角の和180度より、角BD'Cは30度。それと対称な角EDCも30度。

 一瞬「おぉっ!!」と思いました。でもひとつ難点が。
 B-E-D'が一直線上にあることを当然の前提にしている点です。
 たしかに、分度器を使いながら描けばそういう図になるし、それで正しいのですが、与えられた条件だけから自明のことではありません。

 分度器を使わずに描けば、たとえばこういう図になるでしょう。あと一工夫で面白い別解になりそうな気もします。
triangle4.jpg

 それから、とあるブログで、こういう補助線で正解できると書かれていました。(解法は示さず。)
triangle5.jpg
 あぁ・・・何と正統派な補助線・・・「底辺に平行な補助線」という定石を、私も何十回引いたことか。何十時間この図を眺めたことか。でも、その先はひらめきませんでした。この解法は、特に知りたいです。14日以降に詳しい答えとトラックバックをぜひお願いします。

 こんな問題を考えていると、中学・高校時代の夏休みが戻ってきたみたいで幸せです。

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Comments

1時間くらいで解けましたが,代数的な方法を使いました.これは反則でしょうか?

Posted by: 貧乏夫 | 2004.08.12 at 11:11 PM

エ。俺これ別に補助線入れなくても答えでたけど
単純に円は360度で線がまっすぐであれば特に変な公式なんざ使わんでもいいと思ったんやけど。。。
なんやろ。俺アホやから変な勘違いでもしとるんかな。。。(悩

Posted by: 月 | 2004.08.13 at 06:24 AM

一直線になるかでなくて、最初からAEにDから垂線を引く~でないですか?

Posted by: snowman | 2004.08.14 at 01:45 AM

いや、最初から垂線を引いても、BD'の直線上にEが乗る、
とは限りませんよね。この場合は、たまたまそうなりますけど。

Posted by: kami | 2004.08.15 at 02:45 AM

おっしゃる通り。だけど、この問題の場合はADCが二等辺三角形だから、垂線を引きその延長上にD’をとる・・と考えると証明が簡単になるはずですよ。最初から直線である前提ですから。他の数字だとこうは行きませんが。

Posted by: snowman | 2004.08.15 at 06:39 AM

イエあの、三角形ACD'がACDと合同の二等辺三角形で、
Dからの垂線上にD'が来ることも自明なので
(つまり、DD'が直線になることも含めて)
それは私にも分かるんですが、

BとD'を結んだ直線上に点Eが乗る、ということが
ハッキリしていないと思うんです。
この場合では、たまたまそうなるだけで、
たとえば、問題で「点EをEBCが51度になるように取る」と与えられていたなら
(要するに50度以外であれば)点EはBD'上に乗りませんよね。

この問題は、それゆえに難問であると思うんですが、
もし宜しければ、その説明をしていただけたら、と思います。
私が何か見落としてるだけなのかもしれませんので…。

Posted by: kami | 2004.08.15 at 03:34 PM

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