辺の長さの比を使う方法（解答C）

　ここで紹介する二つの方法は、かなり複雑です。中学生レベルの代数を使う方法と、三角関数を使う方法が寄せられました。
　代数を使うのは、silicodama@yahoo.com さんからいただいた解法です。図は私が描いたものですが、文章はメールをそのまま貼り付けさせてもらいます。

概略：

辺の比を求めて△ＡＢＥと△ＣＤＥが相似であることを示す方法です．

詳細：

簡単のためにＡＢとＡＣの長さを１とします．またＢＣの長さを a とします．
△ＣＢＥは二等辺三角形ですので，ＥＣの長さも a となります．すると
ＡＥの長さは 1-a とあらわせます．

次に，ＡＤの長さを仮に x とします．△ＡＤＣは二等辺三角形ですので，
ＣＤの長さも x となります．この x を a であらわすことを考えます．

ＡとＤからＢＣに引いた垂線の足をそれぞれＦ，Ｇとします．すると

ＦＧ：ＧＢ ＝ ＡＤ：ＤＢ ＝ x:1-x (1)

となります．ここで，△ＡＢＣは二等辺三角形ですので，ＦはＢＣの中点に
なります．また△ＣＤＧは正三角形の半分ですので，ＣＧはＣＤの半分の
長さです．従って，

ＦＧ：ＧＢ ＝ ＣＧ－ＣＦ：ＢＣ－ＣＧ ＝ x/2-a/2 : a-x/2 (2)

となります．(1)と(2) は同じ比ですので等号で結んで整理すると，
x についての一次方程式となり，簡単に

x = a / (1-a) (3)

であることが求まります．

以上の結果を用いて，比 ＣＤ：ＣＥ を求めると，

ＣＤ：ＣＥ ＝ a / (1-a) : a ＝ 1 : 1-a (4)

となり，ＡＢ：ＡＥ と同じであることが分かります．２辺の長さの比が等しく，
その間の角が等しいので，△ＡＢＥと△ＣＤＥは相似形であることがわかります．

従って，∠ＥＤＣ＝∠ＥＢＡ＝３０度となります．

　以上、silicodama@yahoo.com さんによる解法でした。
　論理が緻密なのはもちろん、文章がとてもきれいなのに感動しました。

　同様に比を求める方法を、penalty_taker さんからもいただきました。これは三角関数が使われていますので、高校レベルです。実は私、この解答が正しいかどうか検証していません。するためには、正弦定理を始めとした三角関数の公式を復習しなおす必要があります。ちょっとその気力がないので、未検証のまま転載させていただきます。
　これはPDFファイルになっていて、印刷すればたいへん読みやすいです。
　三角関数を用いる解法(PDF 199KB)

　私が以前から知っていた解法と今回出た解法は、この記事までで書いた３とおりで全てです。
　これら以外の解法も、見つけ次第ご紹介します。（まだトラックバック先を全部詳しくは読めていませんので・・・）